Von Baumdiagrammen über Doppelbäume zu Häufigkeitsnetzen – kognitive Überlastung oder didaktische Unterstützung?

In stochastischen Situationen mit zwei dichotomen Merkmalen erlauben weder die schulüblichen Baumdiagramme noch Vierfeldertafeln die simultane Darstellung sämtlicher in der Situation möglicher Wahrscheinlichkeiten. Das im vorliegenden Beitrag vorgestellte Netz hat die Kapazität, alle vier möglichen Randwahrscheinlichkeiten, alle vier Schnittwahrscheinlichkeiten sowie alle acht bedingten Wahrscheinlichkeiten gleichzeitig darzustellen. Darüber hinaus ist – aufgrund der Knoten-Ast-Struktur des Netzes – die simultane Darstellung von Wahrscheinlichkeiten und absoluten Häufigkeiten mit dieser Visualisierung ebenfalls möglich. Bei der sukzessiven Erweiterung des typischen Baumdiagramms zunächst zum Doppelbaum und schließlich zum Netz sinkt der Inferenzgrad (d. h. weniger kognitive Schritte sind erforderlich) z. B. für Fragen nach bedingten Wahrscheinlichkeiten, aber gleichzeitig steigt die Komplexität der Darstellung und somit die extrinsische kognitive Belastung. Im vorliegenden Artikel erfolgt zunächst ein theoretischer Vergleich dieser Knoten-Ast-Strukturen. Eine anschließende Studie illustriert, dass sich die sukzessive Erweiterung bereits vollständig ausgefüllter Diagramme positiv auf die Performanz von N = 269 Schülerinnen und Schülern auswirkt. Obwohl Häufigkeitsdoppelbäume und Häufigkeitsnetze den Schülerinnen und Schülern gänzlich unbekannt waren, unterstützten diese Visualisierungen die Schülerinnen und Schüler bei der Bearbeitung der Aufgaben am meisten. In stochastic situations with two dichotomous events, neither typical tree diagrams nor 2 × 2 tables allow the simultaneous representation of all possible probabilities in the situation. The net diagram presented in this paper has the capacity to represent all four possible marginal probabilities, all four joint probabilities, and all eight conditional probabilities simultaneously. Furthermore, due to the node-branch structure of the frequency net, the simultaneous representation of probabilities and absolute frequencies is also possible with this visualization. With the successive extension of the typical tree diagram to the double tree and finally to the net diagram, the inference degree, e.g., for questions about conditional probabilities, decreases (i.e., less mental steps are required), however, at the same time the complexity of the representation increases and thus the extrinsic cognitive load. In the present article, a theoretical comparison of these node-branch-structures is made. Furthermore, we demonstrate with an empirical study that the successive extension of these node-branch structures, which were already completely worked out, positively affects the performance of N = 269 students. Although frequency double trees and frequency nets were entirely unfamiliar to the students, these visualizations provided the best support to the students in completing the tasks

Measuring people’s covariational reasoning in Bayesian situations

Previous research on Bayesian reasoning has typically investigated people’s ability to assess a posterior probability (i.e., a positive predictive value) based on prior knowledge (i.e., base rate, true-positive rate, and false-positive rate). In this article, we systematically examine the extent to which people understand the effects of changes in the three input probabilities on the positive predictive value, that is, covariational reasoning. In this regard, two different operationalizations for measuring covariational reasoning (i.e., by single-choice vs. slider format) are investigated in an empirical study with N = 229 university students. In addition, we aim to answer the question wheter a skill in “conventional” Bayesian reasoning is a prerequisite for covariational reasoning

Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Schnittwahrscheinlichkeiten GLEICHZEITIG visualisieren: Das Häufigkeitsnetz

Sowohl die Darstellung statistischer Informationen mit absoluten Häufigkeiten als auch die Visualisierung der Informationen haben sich als positiv für das Verständnis von bedingten Wahrscheinlichkeiten herausgestellt – gerade in Bezug auf sogenannte Bayesianische Aufgabenstellungen. Aus unterrichtlicher Sicht ist diese Erkenntnis jedoch nur von eingeschränktem Nutzen, da im Stochastikunterricht nicht nur Aufgaben zu bedingten Wahrscheinlichkeiten adressiert werden, sondern beispielsweise auch zu Schnittwahrscheinlichkeiten. Beim Einsatz von Vierfeldertafeln und Baumdiagrammen ergibt sich daraus ein ganz entscheidender Nachteil: Es existieren Aufgabenklassen, die vorzugsweise mit Vierfeldertafeln gelöst werden können und Aufgabenklassen, in denen Baumdiagramme strategisch von Vorteil sind. Der vorliegende Beitrag stellt daher eine neue Visualisierung vor, die es erstmals ermöglicht, bedingte Wahrscheinlichkeiten und Schnittwahrscheinlichkeiten gleichzeitig zu visualisieren: Das Häufigkeitsnetz

Sechs verschiedene Darstellungsarten für "25%" - und wie man sie ineinander umrechnen kann

Es gibt unterschiedliche numerische Darstellungsformen von relativen Häufigkeiten wie z. B. „25 %“, „1 von 4“ oder „Jeder Vierte“, von denen jedoch nur einige in der Schule ausführlich behandelt werden. Im vorliegenden Beitrag sollen diese Darstellungsformen vorgestellt und anschließend zwei verschiedene Möglichkeiten erläutert werden, wie deren wechselseitige Umrechnungen im Unterricht thematisiert werden können. Bei beiden Varianten werden dabei die Anzahl der zu lernenden Umrechnungen reduziert, indem einmal die gewöhnlichen Brüche und einmal die natürlichen Häufigkeiten ins Zentrum gestellt werden

Competence as a continuum in the COACTIV study: the “cascade model”

Two different tools for assessing pedagogical content knowledge (PCK) of mathematics teachers used in the framework of the COACTIV study are systematically compared in this paper, namely the paper-and-pencil test consisting of items on the three facets knowledge of explaining and representation, knowledge of student thinking and typical mistakes, and knowledge of the potential of mathematical tasks, and the video vignettes instrument that examines teachers' proposed continuations for presented lesson video clips specific to their subject-related and methodological competence aspects. Initially, both COACTIV PCK assessment tools are systematically contrasted for the first time with respect to their predictive validity for instructional quality (N = 163 German secondary mathematics teachers) as well as student learning gains (N = 3806 PISA students from 169 different classes) by means of path models showing that PCK, when assessed by the paper-and-pencil method, can better predict instructional quality than the video vignettes instrument can. Next, we theoretically propose the cascade model as capable of integrating pertinent theories on teacher competence and instructional quality. This model implies five 'columns' that are ordered according to a sequential causal chain (teacher disposition -> situation-specific skills -> observable teaching behavior -> student mediation -> learning gains). Finally, we specify four out of the five 'columns' of this cascade model, based empirically on the COACTIV data

How to Train Novices in Bayesian Reasoning

Bayesian Reasoning is both a fundamental idea of probability and a key model in applied sciences for evaluating situations of uncertainty. Bayesian Reasoning may be defined as the dealing with, and understanding of, Bayesian situations. This includes various aspects such as calculating a conditional probability (performance), assessing the effects of changes to the parameters of a formula on the result (covariation) and adequately interpreting and explaining the results of a formula (communication). Bayesian Reasoning is crucial in several non-mathematical disciplines such as medicine and law. However, even experts from these domains struggle to reason in a Bayesian manner. Therefore, it is desirable to develop a training course for this specific audience regarding the different aspects of Bayesian Reasoning. In this paper, we present an evidence-based development of such training courses by considering relevant prior research on successful strategies for Bayesian Reasoning (e.g., natural frequencies and adequate visualizations) and on the 4C/ID model as a promising instructional approach. The results of a formative evaluation are described, which show that students from the target audience (i.e., medicine or law) increased their Bayesian Reasoning skills and found taking part in the training courses to be relevant and fruitful for their professional expertise